高斯公式、格林公式、斯托克斯公式
$$
F = (P,Q,R)
$$
1. nabla算子
$$
\nabla = \frac{\partial }{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial }{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial }{\partial z} \mathbf{k}
$$
2. 梯度概念
将nabla算子作用于函数，得到梯度，梯度是函数下降最快的路径。梯度将数量场转化为向量场
$$
grad( f )= \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}
$$
3. 散度概念
散度描述了一个点流入和流出物理量的程度
$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
$$
4. 旋度
旋度描述了向量场旋转旋涡的强度和方向
$$
\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \
Fx & Fy & Fz
\end{vmatrix}
$$
5.环量
$$
\Gamma = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} =\oint_C\ Pdx +Qdy +Rdz
$$
散度和旋度的物理描述可以类比于向量的点成和叉乘，点成描述两个向量共线的程度，而叉乘表述出两个向量垂直的程度
6. 高斯公式
理解为流过边界的通量 = 内部所有散度的贡献
可以把散度理解为通量的体密度，当选定某个圆球域，通过该域的有电场，当该原球域的r→0，得到某个点的散度
$$
\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \,dV
$$
用电荷来理解，划定一个电场域，正电荷只会流出电通量，而负电荷只会吸收电通量，因此，这个场中每个电荷的散度累计为整个划定电场域边界的电通量
7. 斯托克斯公式
理解为围绕边界的环量 = 曲面上旋度的的贡献 可以把旋度理解为环量的面密度
给定闭曲线环，将环量理解为场沿着这个闭曲线环的做功即是曲线积分
就三维而言，做功可以看成是三个二维的累加，将某个闭矩形域投射到三个维度，计算每个分量所做的功的累加
曲线环收缩到一个点，即为某点的旋度。而在二维中只考虑xoy平面，原公式退化为格林公式
$$
\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
$$
$$
d\mathbf{S} = (dydz, dxdz,dxdy)
$$
