随机抽样公式
$$
\frac{(n-1)S^2}{\sigma ^2} \sim\chi^2(n-1)
$$
$$
S^2 = \frac{\sum_{i = 1}^{n}(X-\overline{X})^2}{n-1} =\frac{\sum_{i=1}^{n}X^2-n\overline{X}^2}{n-1}
$$
$$
\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}
$$
$$
S^2 =(1- \frac{1}{n})\sum_{i=1}^{b}X_i^2 - 2 \sum_{i=1}^{n}X_iX_j
$$
将$S^2$转换成行列式，求解特征值，对行列式加边，求得
$$
\lambda_1 = \lambda_2 = …=\lambda_{n-1} = 1
$$
$$
\lambda_n = 0
$$
故通过正交变换，原式可以转换成n-1个正态分布的累加，即为自由度为n-1的卡方分布
